微分積分例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{5 x^{2} + 4}$

ステップ 1

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x^{2}$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.2.2

$5$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.4

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 5

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 6.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}$

ステップ 6.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{5 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{5 + 4 \cdot 0}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 3 \cdot 0}{5 + 4 \cdot 0}$

ステップ 8.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{5 + 4 \cdot 0}$

ステップ 8.1.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{5 + 4 \cdot 0}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{5 + 0}$

ステップ 8.2.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{5}$

ステップ 8.3

$0$ を $5$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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