微分積分例

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ を ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 6.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 7.2

${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

ステップ 11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例