微分積分例

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{3}{x y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d x}{d y}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $\frac{3}{x y}$ を引きます。

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{3}{x y} = 0$

ステップ 1.1.2

$\frac{d x}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.2.1

方程式の両辺から $\frac{x}{y}$ を引きます。

$\frac{d x}{d y} - \frac{3}{x y} = - \frac{x}{y}$

ステップ 1.1.2.2

方程式の両辺に $\frac{3}{x y}$ を足します。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} + \frac{3}{x y}$

ステップ 1.2

因数分解。

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ステップ 1.2.1

$- \frac{x}{y}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{3}{x y}$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{x}{y}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{y x} + \frac{3}{x y}$

ステップ 1.2.2.2

$y x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x \cdot x}{x y} + \frac{3}{x y}$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x \cdot x + 3}{x y}$

ステップ 1.2.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{- (x \cdot x) + 3}{x y}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{x}{- x^{2} + 3}$ を掛けます。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} (\frac{- x^{2} + 3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$\frac{- x^{2} + 3}{x}$ に $\frac{1}{y}$ をかけます。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

ステップ 1.5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.2.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x (y)}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{x}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{x y}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{- x^{2} + 3} \cdot \frac{- x^{2} + 3}{y}$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{- x^{2} + 3}$ に $\frac{- x^{2} + 3}{y}$ をかけます。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

ステップ 1.5.4

$- x^{2} + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{- x^{2} + 3}{(- x^{2} + 3) y}$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \frac{1}{y} d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{x}{- x^{2} + 3} d x = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = - x^{2} + 3$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = - x^{2} + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- x^{2} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- x^{2} + 3]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $- x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{u}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.2.3

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.5

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.6

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.2.7

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 3$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

ステップ 2.3

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |) = \ln (| y |) + C$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $- 2$ を掛けます。

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |)) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - x^{2} + 3 |))$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\ln (| - x^{2} + 3 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- 2 (- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

$- \frac{\ln (| - x^{2} + 3 |)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - x^{2} + 3 |)}{2} = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$- - \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.3

掛け算します。

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ステップ 3.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.3.2

$\ln (| - x^{2} + 3 |)$ に $1$ をかけます。

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 (\ln (| y |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| - x^{2} + 3 |) = - 2 \ln (| y |) - 2 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |) = - 2 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln ({| y |}^{2}) = - 2 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$\ln (| - x^{2} + 3 |) + \ln (y^{2}) = - 2 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2}) = - 2 C$

ステップ 3.4.1.3

$\ln (| - x^{2} + 3 | y^{2})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$

ステップ 3.5

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |)} = e^{- 2 C}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (y^{2} | - x^{2} + 3 |) = - 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2 C} = y^{2} | - x^{2} + 3 |$

ステップ 3.7

$x$ について解きます。

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ステップ 3.7.1

方程式を $y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ として書き換えます。

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.2

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ の各項を $y^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

$y^{2} | - x^{2} + 3 | = e^{- 2 C}$ の各項を $y^{2}$ で割ります。

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

ステップ 3.7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.2.2.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} | - x^{2} + 3 |}{y^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

ステップ 3.7.2.2.1.2

$| - x^{2} + 3 |$ を $1$ で割ります。

$| - x^{2} + 3 | = \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

ステップ 3.7.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$- x^{2} + 3 = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}$

ステップ 3.7.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$

ステップ 3.7.5

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.5.1

$- x^{2} = \pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}} - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.7.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.7.5.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.7.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.7.5.3.1.1

$\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.7.5.3.1.2

$- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ を $- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}})$ に書き換えます。

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 3.7.5.3.1.3

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = - (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3$

ステップ 3.7.6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{e^{- 2 C}}{y^{2}}) + 3}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$x = \pm \sqrt{- (\pm \frac{C}{y^{2}}) + 3}$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$x = \pm \sqrt{- (C \frac{1}{y^{2}}) + 3}$

微分積分 例

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