微分積分例

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (e^{x})$

ステップ 1

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$

ステップ 2.2

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (e^{x})$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (e^{x})$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (e^{x}) d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$u = e^{x}$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$u = e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

$e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 6.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x}$

ステップ 6.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{x} y = \int \sin (u) d u$

ステップ 6.2

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$e^{x} y = - \cos (u) + C$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$

ステップ 7

$e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{x} y = - \cos (e^{x}) + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- \cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{\cos (e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

微分積分 例

微分積分例