微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1)}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{2} - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

ステップ 1.2

$y^{2} - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2} - 1}{x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.2.1.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 2.2.1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y + 1}$

ステップ 2.2.1.1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(y + 1) (y - 1)$ です。

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.5

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.6

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.6.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.1

$y + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.1.1

共通因数を約分します。

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.1.2

$(A) (y - 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.2

分配則を当てはめます。

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.3

$- 1$ を $A$ の左に移動させます。

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.4

$- 1 A$ を $- A$ に書き換えます。

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.5

$y - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.7.5.1

共通因数を約分します。

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.1.7.5.2

$(B) (y + 1)$ を $1$ で割ります。

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

ステップ 2.2.1.1.7.6

分配則を当てはめます。

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

ステップ 2.2.1.1.7.7

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = A y - A + B y + B$

ステップ 2.2.1.1.8

$- A$ を移動させます。

$1 = A y + B y - A + B$

ステップ 2.2.1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

式の両辺から $y$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 2.2.1.2.2

式の両辺から $y$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.1.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$0 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1.1

方程式を $A + B = 0$ として書き換えます。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.1.3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

ステップ 2.2.1.3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.1

$1 = - 1 A + B$ の $A$ のすべての発生を $- B$ で置き換えます。

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1

$- 1 (- B) + B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1

$- 1 (- B)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.1.2

$B$ に $1$ をかけます。

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.2.2.1.2

$B$ と $B$ をたし算します。

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3

$1 = 2 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.1

方程式を $2 B = 1$ として書き換えます。

$2 B = 1$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.1

$2 B = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.3.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

ステップ 2.2.1.3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.1

$A = - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.1.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.2.1

$- 1$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.1.4

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.2

$\frac{1}{y + 1}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.3

$2$ を $y + 1$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

ステップ 2.2.1.5.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{y - 1}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.5

$u_{1} = y + 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$u_{1} = y + 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1.1

$y + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

ステップ 2.2.5.1.2

総和則では、 $y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 2.2.5.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.6

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.7

$\frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.8

$u_{2} = y - 1$ とします。次に $d u_{2} = d y$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$u_{2} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.8.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.8.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.10

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.11

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.11.1

$u_{1}$ のすべての発生を $y + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.11.2

$u_{2}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$\ln (| y + 1 |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| y - 1 |)$ をまとめます。

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

ステップ 3.2

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ の各項に $2$ を掛けます。

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

$2$ を $\ln (| x |)$ の左に移動させます。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

ステップ 3.2.3.1.2

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (| x |)$ を簡約します。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

ステップ 3.4.1.1.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

ステップ 3.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

ステップ 3.5

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

ステップ 3.6

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

ステップ 3.7

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

ステップ 3.7.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$2 C + \ln (| y + 1 |)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ を展開します。

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

ステップ 3.7.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

ステップ 3.7.2.3

$2 C + \ln (| y + 1 |)$ に $1$ をかけます。

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

ステップ 3.7.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

ステップ 3.7.4

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

ステップ 3.7.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

ステップ 3.7.6

$| y + 1 |$ と $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ をまとめます。

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

ステップ 3.7.7

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ の因数を並べ替えます。

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

ステップ 3.7.8

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.9

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

ステップ 3.7.10

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.1

方程式を $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ として書き換えます。

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.2

両辺に $| y - 1 |$ を掛けます。

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

ステップ 3.7.10.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.3.1

$| y - 1 |$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

ステップ 3.7.10.3.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

ステップ 3.7.10.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.1

方程式を $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ として書き換えます。

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

ステップ 3.7.10.4.2

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ の各項を $e^{- 2 C}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.2.1

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ の各項を $e^{- 2 C}$ で割ります。

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

ステップ 3.7.10.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.2.2.1

$e^{- 2 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

ステップ 3.7.10.4.2.2.1.2

$| y - 1 |$ を $1$ で割ります。

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

ステップ 3.7.10.4.3

絶対値方程式を絶対値記号がない4つの方程式に書き換えます。

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

ステップ 3.7.10.4.4

簡約した後、解くべき方程式は2つだけです。

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

ステップ 3.7.10.4.5

$y$ について $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.1

両辺に $e^{- 2 C}$ を掛けます。

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.2.1.1

$(y - 1) e^{- 2 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.2.1.1.2

$- 1 e^{- 2 C}$ を $- e^{- 2 C}$ に書き換えます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.2.2.1

$\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.2.2.1.1

$e^{- 2 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

ステップ 3.7.10.4.5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

ステップ 3.7.10.4.5.2.2.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

ステップ 3.7.10.4.5.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.1

方程式の両辺から $x^{2} y$ を引きます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.2

方程式の両辺に $e^{- 2 C}$ を足します。

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.3

$y$ を $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.3.1

$y$ を $y e^{- 2 C}$ で因数分解します。

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.3.2

$y$ を $- x^{2} y$ で因数分解します。

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.3.3

$y$ を $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ で因数分解します。

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.4

$e^{- 2 C}$ を ${(e^{- C})}^{2}$ に書き換えます。

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- C}$ であり、 $b = x$ です。

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.5.2

不要な括弧を削除します。

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.6

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ の各項を $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.1

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ の各項を $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ で割ります。

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2.1

$e^{- C} + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2.2

$e^{- C} - x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

ステップ 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

ステップ 3.7.10.4.6

$y$ について $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.1

両辺に $e^{- 2 C}$ を掛けます。

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.2.1.1

$(y - 1) e^{- 2 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.2.1.1.2

$- 1 e^{- 2 C}$ を $- e^{- 2 C}$ に書き換えます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1

$- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1.1

$e^{- 2 C}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

$- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

ステップ 3.7.10.4.6.2.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

ステップ 3.7.10.4.6.3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.1

方程式の両辺に $x^{2} y$ を足します。

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.2

方程式の両辺に $e^{- 2 C}$ を足します。

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.3

$y$ を $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.3.1

$y$ を $y e^{- 2 C}$ で因数分解します。

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.3.2

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.3.3

$y$ を $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ で因数分解します。

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ の各項を $e^{- 2 C} + x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.1

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ の各項を $e^{- 2 C} + x^{2}$ で割ります。

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.2.1

$e^{- 2 C} + x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

$e^{- 2 C}$ を ${(e^{- C})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

$- x^{2}$ と ${(e^{- C})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- C}$ であり、 $b = x$ です。

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 3.7.10.4.7

すべての解をまとめます。

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例