微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$ , $y (0) = 7$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = 2 x^{3} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 2 x^{3} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 2 x^{3} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 \int x^{3} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} x^{4} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ の $0$ を $x$ に、 $7$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$7 = \frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 7$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K = 7$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2} \cdot 0^{4} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} \cdot 0 + K = 7$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$0 + K = 7$

ステップ 4.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = 7$

ステップ 5

$7$ を $y = \frac{1}{2} x^{4} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$7$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{2} x^{4} + 7$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{4}}{2} + 7$

微分積分 例

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