微分積分例

$(2 x + \frac{y}{x}) d x + (4 y + \ln (x)) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 x + \frac{y}{x}$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + \frac{y}{x}]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $2 x + \frac{y}{x}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.2.2

$2 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{x}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{y}{x}$ の微分係数は $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

ステップ 1.4

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

ステップ 2

$N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y + \ln (x)]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $4 y + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$4 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{x}$

ステップ 2.4

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $\frac{1}{x}$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ は恒等式です。

ステップ 4

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int 4 y + \ln (x) d y$

ステップ 5

$N (x, y) = 4 y + \ln (x)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \int 4 y d y + \int \ln (x) d y$

ステップ 5.2

$4$ は $y$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = 4 \int y d y + \int \ln (x) d y$

ステップ 5.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \ln (x) d y$

ステップ 5.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (x) y + C$

ステップ 5.5

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (x) y + C$

ステップ 5.6

簡約します。

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + C$

ステップ 6

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$

ステップ 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

総和則では、 $2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.2.2

$2 y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2 y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\ln (x) y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$0 + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$0 + y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.3.3

$y$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$0 + \frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$0$ と $\frac{y}{x}$ をたし算します。

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 8.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x + \frac{y}{x}$

ステップ 9

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x = \frac{y}{x}$

ステップ 9.1.1.2

方程式の両辺から $\frac{y}{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x} = 0$

ステップ 9.1.1.3

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - 2 x - \frac{y}{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.3.1

$\frac{y}{x}$ から $\frac{y}{x}$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} - 2 x + 0 = 0$

ステップ 9.1.1.3.2

$\frac{d g}{d x} - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

ステップ 9.1.2

方程式の両辺に $2 x$ を足します。

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

ステップ 10

$2 x$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{d g}{d x} = 2 x$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

ステップ 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int 2 x d x$

ステップ 10.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = 2 \int x d x$

ステップ 10.4

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

ステップ 10.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ に書き換えます。

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

ステップ 10.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.2.2

式を書き換えます。

$g (x) = 1 x^{2} + C$

ステップ 10.5.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$g (x) = x^{2} + C$

ステップ 11

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = 2 y^{2} + \ln (x) y + x^{2} + C$ の因数を並べ替えます。

$f (x, y) = 2 y^{2} + y \ln (x) + x^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例