微分積分例

$y (4 + e^{x}) d y - e^{x} d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $e^{x} d x$ を足します。

$y (4 + e^{x}) d y = e^{x} d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{4 + e^{x}}$ を掛けます。

$\frac{1}{4 + e^{x}} (y (4 + e^{x})) d y = \frac{1}{4 + e^{x}} e^{x} d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$4 + e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$4 + e^{x}$ を $y (4 + e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{1}{4 + e^{x}} ((4 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{4 + e^{x}} e^{x} d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 + e^{x}} ((4 + e^{x}) y) d y = \frac{1}{4 + e^{x}} e^{x} d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$y d y = \frac{1}{4 + e^{x}} e^{x} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{4 + e^{x}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$y d y = \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

ステップ 4.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$u = 4 + e^{x}$ とします。次に $d u = e^{x} d x$ すると、 $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.1.1

$u = 4 + e^{x}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.1.1.1

$4 + e^{x}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

ステップ 4.3.1.1.2

微分します。

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ステップ 4.3.1.1.2.1

総和則では、 $4 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4.3.1.1.2.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4.3.1.1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$0 + e^{x}$

ステップ 4.3.1.1.4

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$e^{x}$

ステップ 4.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $4 + e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 4 + e^{x} |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 4 + e^{x} |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 4 + e^{x} |) + C)$

ステップ 5.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 4 + e^{x} |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 4 + e^{x} |) + C)$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\ln (| 4 + e^{x} |) + C)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \ln (| 4 + e^{x} |) + 2 C$

ステップ 5.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (| 4 + e^{x} |)$ を簡約します。

$y^{2} = \ln ({| 4 + e^{x} |}^{2}) + 2 C$

ステップ 5.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 4 + e^{x} |}^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.5

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| 4 + e^{x} |}^{2}$ の絶対値を削除します。

$y = \pm \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 5.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + 2 C}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(4 + e^{x})}^{2}) + C}$

微分積分 例

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