微分積分例

$\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

${(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$ を $(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.2.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.3

$7$ に $7$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{x} e^{- x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.5.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 (e^{- x} e^{x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{- x + x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.5.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.6

$7 \cdot - 3 e^{0}$ を簡約します。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.7

$7$ に $- 3$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.9

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.9.1

$e^{x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.9.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{x - x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.9.3

$x$ から $x$ を引きます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{0} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.10

$- 3 \cdot 7 e^{0}$ を簡約します。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.11

$- 3$ に $7$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x} e^{- x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.13

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.3.1.13.1

$e^{- x}$ を移動させます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 (e^{- x} e^{- x}) d x$

ステップ 2.3.1.3.1.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x - x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.13.3

$- x$ から $x$ を引きます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.1.3.1.14

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 + 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.1.3.2

$- 21$ から $21$ を引きます。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 42 + 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.2

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.3

$49$ は $x$ に対して定数なので、 $49$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 49 \int e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.4

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.4.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = 49 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.5

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 49 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.6

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.7

$\frac{1}{2}$ と $49$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.8

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.9

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \int 9 e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.10

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $9$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{- 2 x} d x$

ステップ 2.3.11

$u_{2} = - 2 x$ とします。次に $d u_{2} = - 2 d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

$u_{2} = - 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1.1

$- 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 2.3.11.1.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 2.3.11.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 2.3.11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.12.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.12.2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.13

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

ステップ 2.3.14

$- 1$ に $9$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.15

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.16.1

$\frac{1}{2}$ と $- 9$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \frac{- 9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.16.2

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.17

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

ステップ 2.3.18

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{u_{1}} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

ステップ 2.3.19

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.19.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

ステップ 2.3.19.2

$u_{2}$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

ステップ 2.3.20

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + K$

微分積分 例

微分積分例