微分積分例

$x^{5} + 4 y \frac{d y}{d x} = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺から $x^{5}$ を引きます。

$4 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$

ステップ 1.1.2

$4 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$ の各項を $4 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$4 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$ の各項を $4 y$ で割ります。

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.1.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.2

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{5}}{4 y})$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.3.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{4 y}$

ステップ 1.3.2.2

$y$ を $4 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{y \cdot 4}$

ステップ 1.3.2.3

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{y \cdot 4}$

ステップ 1.3.2.4

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{4}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$y d y = - \frac{x^{5}}{4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int - \frac{x^{5}}{4} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{5}}{4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{5}}{4} d x$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int x^{5} d x)$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2})$

ステップ 2.3.4

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2})$ を $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2

簡約します。

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ステップ 2.3.4.2.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6 \cdot 4} x^{6} + C_{2}$

ステップ 2.3.4.2.2

$6$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{24} x^{6} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{24} x^{6} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$x^{6}$ と $\frac{1}{24}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{6}}{24} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{6}}{24}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{6}}{24}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{24} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$2$ を $24$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{2 (12)} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{2 \cdot 12} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{- x^{6}}{12} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{x^{6}}{12} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2 K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + 2 K \cdot \frac{12}{12}}$

ステップ 3.4.2

$2 K$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + \frac{2 K \cdot 12}{12}}$

ステップ 3.4.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{6} + 2 K \cdot 12}{12}}$

ステップ 3.4.4

$12$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{6} + 24 K}{12}}$

ステップ 3.4.5

$\frac{- x^{6} + 24 K}{12}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{6} + 24 K}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.5.1

$- x^{6} + 24 K$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{6} + 24 K)}{12}}$

ステップ 3.4.5.2

$12$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{6} + 24 K)}{2^{2} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.5.3

分数 $\frac{1^{2} (- x^{6} + 24 K)}{2^{2} \cdot 3}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{6} + 24 K}{3}}$

ステップ 3.4.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{6} + 24 K}{3}}$

ステップ 3.4.7

$\sqrt{\frac{- x^{6} + 24 K}{3}}$ を $\frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.8

まとめる。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.9

$\sqrt{- x^{6} + 24 K}$ に $1$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.10

$\frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.11

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.11.1

$\frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.11.2

$\sqrt{3}$ を移動させます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

ステップ 3.4.11.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

ステップ 3.4.11.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

ステップ 3.4.11.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.11.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.4.11.7

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.11.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.11.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.11.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.11.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.11.7.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.11.7.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

ステップ 3.4.11.7.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.12

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 24 K) \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.4.13

式を簡約します。

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ステップ 3.4.13.1

$2$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 24 K) \cdot 3}}{6}$

ステップ 3.4.13.2

$\pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 24 K) \cdot 3}}{6}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + K)}}{6}$

微分積分 例

微分積分例