微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 3 y)}{2 x}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式を $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分数 $\frac{(x + 3 y)}{2 x}$ を2つの分数に分割します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{3 y}{2 x}$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺から $\frac{3 y}{2 x}$ を引きます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{3 y}{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{3}{2 x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{3}{2 x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{3}{2 x}$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- \frac{3}{2} \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- \frac{3}{2}})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.3

$\frac{3}{2 x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$\frac{3 y}{2 x}$ に $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4.2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.2.4.2.5

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

ステップ 3.3

まとめる。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} (2 x)}$

ステップ 3.4

指数を足して $x^{\frac{3}{2}}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.4.2

$x$ に $x^{\frac{3}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.4.5

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.6

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{1}$ を分母に移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

ステップ 3.7

指数を足して $x^{\frac{5}{2}}$ に $x^{- 1}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$x^{- 1}$ を移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.7.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.7.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.7.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.7.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.7.6.2

$- 2$ と $5$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

ステップ 3.8

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

ステップ 7.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$x^{\frac{3}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 7.2.2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

ステップ 7.2.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

ステップ 7.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

ステップ 7.3

べき乗則では、 $x^{- \frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

ステップ 7.4

答えを簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ を $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 7.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 7.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

ステップ 7.4.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 7.4.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 7.4.2.5

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

方程式の両辺に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を足します。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = C$

ステップ 8.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

ステップ 8.1.3

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

ステップ 8.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

方程式の両辺から $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} - C = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

ステップ 8.3

両辺に $x^{\frac{3}{2}}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$(- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.1.2.1

$- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.1.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.1.2.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.1.2.4

式を書き換えます。

$y = - 1 x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1.2.1

$2$ を $2$ で割ります。

$y = - 1 x^{1} + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.2.2

簡約します。

$y = - 1 x + C x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 8.4.2.1.2.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x + C x^{\frac{3}{2}}$

微分積分 例

微分積分例