微分積分例

$\frac{d y}{d θ} = \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (\sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)) d θ$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{θ}$ を $θ^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = \int θ^{\frac{1}{2}} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $θ^{\frac{1}{2}}$ の $θ$ に関する積分は $\frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}}$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $θ$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \sec^{2} (θ) d θ$

ステップ 2.3.5

$\tan (θ)$ の微分係数が $\sec^{2} (θ)$ なので、 $\sec^{2} (θ)$ の積分は $\tan (θ)$ です。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (\tan (θ) + C_{3})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + K$

微分積分 例