微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{3}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

ステップ 2.3.2

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

ステップ 2.3.3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{π}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.2

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{3}{2 π}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$\cos (π x)$ と $\frac{3}{2 π}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$3$ を $\cos (π x)$ の左に移動させます。

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.2.1

$- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2.2

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2.2.4

式を書き換えます。

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

微分積分 例

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