微分積分例

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $2 y d x$ を引きます。

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{- 3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$e^{- 3 x}$ を $e^{- 3 x} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

ステップ 3.3

$- 2$ と $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ をまとめます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

ステップ 3.4

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$y$ を $e^{- 3 x} y$ で因数分解します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

ステップ 3.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

ステップ 4.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

ステップ 4.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

ステップ 4.3.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

ステップ 4.3.3.2

$e^{- 3 x}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

ステップ 4.3.3.3

簡約します。

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ステップ 4.3.3.3.1

${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

ステップ 4.3.3.3.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

ステップ 4.3.3.3.2

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

ステップ 4.3.4

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.4.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.3.4.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.3.4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 4.3.4.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 4.3.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 4.3.5

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 4.3.6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 4.3.7

簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

$\frac{1}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 4.3.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 4.3.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

ステップ 4.3.9

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

ステップ 4.3.10

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

ステップ 5.2

対数の定義を利用して $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

ステップ 5.3

$y$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式を $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ として書き換えます。

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

ステップ 5.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$e^{3 x}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

ステップ 5.3.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

ステップ 6

定数項をまとめます。

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ステップ 6.1

$e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ を $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ に書き換えます。

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

ステップ 6.2

$e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

ステップ 6.3

定数を正または負でまとめます。

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

微分積分 例

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