微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{9 y - 8}$ を掛けます。

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

ステップ 1.2

$9 y - 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{9 y - 8} \cdot \frac{9 y - 8}{8 x - 7}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{9 y - 8} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 x - 7}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{9 y - 8} d y = \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{9 y - 8} d y = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 9 y - 8$ とします。次に $d u_{1} = 9 d y$ すると、 $\frac{1}{9} d u_{1} = d y$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 9 y - 8$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$9 y - 8$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [9 y - 8]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $9 y - 8$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$ です。

$\frac{d}{d y} [9 y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

ステップ 2.2.1.1.3

$\frac{d}{d y} [9 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.3.1

$9$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $9 y$ の微分係数は $9 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$9 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 8]$

ステップ 2.2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 8]$

ステップ 2.2.1.1.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9 + \frac{d}{d y} [- 8]$

ステップ 2.2.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.4.1

$- 8$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$9 + 0$

ステップ 2.2.1.1.4.2

$9$ と $0$ をたし算します。

$9$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{9}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 9} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2.2.2

$9$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{9 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{9}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{9} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{9} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $9 y - 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 x - 7} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = 8 x - 7$ とします。次に $d u_{2} = 8 d x$ すると、 $\frac{1}{8} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = 8 x - 7$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$8 x - 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [8 x - 7]$

ステップ 2.3.1.1.2

総和則では、 $8 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$8$ に $1$ をかけます。

$8 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 2.3.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$8 + 0$

ステップ 2.3.1.1.4.2

$8$ と $0$ をたし算します。

$8$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$8$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{8}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{8}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x - 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) + C_{1} = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |) = \frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $9$ を掛けます。

$9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |)) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$9 (\frac{1}{9} \ln (| 9 y - 8 |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{9}$ と $\ln (| 9 y - 8 |)$ をまとめます。

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$9 \frac{\ln (| 9 y - 8 |)}{9} = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$9 (\frac{1}{8} \ln (| 8 x - 7 |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{1}{8}$ と $\ln (| 8 x - 7 |)$ をまとめます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + C \cdot \frac{8}{8})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 (\frac{\ln (| 8 x - 7 |)}{8} + \frac{C \cdot 8}{8})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + C \cdot 8}{8}$

ステップ 3.2.2.1.4

$8$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = 9 \frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$

ステップ 3.2.2.1.5

$9$ と $\frac{\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C}{8}$ をまとめます。

$\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 9 y - 8 |)} = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (| 9 y - 8 |) = \frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} = | 9 y - 8 |$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$ として書き換えます。

$| 9 y - 8 | = e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

ステップ 3.5.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$9 y - 8 = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}$

ステップ 3.5.3

方程式の両辺に $8$ を足します。

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$

ステップ 3.5.4

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$9 y = \pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

ステップ 3.5.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y}{9} = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

ステップ 3.5.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}}}{9} + \frac{8}{9}$

ステップ 3.5.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + 8 C)}{8}} + 8}{9}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\pm e^{\frac{9 (\ln (| 8 x - 7 |) + C)}{8}} + 8}{9}$

微分積分 例

微分積分例