微分積分例

$y (3) = 3$ のとき、 $\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y + 3}$ を掛けます。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

ステップ 1.2

$y + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = y + 3$ とします。次に $d u = d y$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$u = y + 3$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$y + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

ステップ 2.2.1.1.4

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $y + 3$ で置き換えます。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

ステップ 3.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に $| x |$ を掛けます。

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$| x |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} | x |$ の因数を並べ替えます。

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

ステップ 3.5.4.3

$\pm | x | e^{C}$ の因数を並べ替えます。

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

ステップ 3.5.4.4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm C | x | - 3$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C | x | - 3$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = C | x | - 3$ の $3$ を $x$ に、 $3$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$3 = C | 3 | - 3$

ステップ 6

$C$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $C | 3 | - 3 = 3$ として書き換えます。

$C | 3 | - 3 = 3$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$C \cdot 3 - 3 = 3$

ステップ 6.2.2

$3$ を $C$ の左に移動させます。

$3 C - 3 = 3$

ステップ 6.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3 C = 3 + 3$

ステップ 6.3.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$3 C = 6$

ステップ 6.4

$3 C = 6$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.1

$3 C = 6$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

ステップ 6.4.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{6}{3}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

$6$ を $3$ で割ります。

$C = 2$

ステップ 7

$2$ を $y = C | x | - 3$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ を $C$ に代入します。

$y = 2 | x | - 3$

微分積分 例

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