微分積分例

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$x e^{- t} d x = t d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$e^{- t}$ は $x$ に対して定数なので、 $e^{- t}$ を積分の外に移動させます。

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ を $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ に書き換えます。

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$e^{- t}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

ステップ 2.2.3.2.2

$\frac{e^{- t}}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ の各項を $\frac{1}{2} e^{- t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ の各項を $\frac{1}{2} e^{- t}$ で割ります。

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.2.2

$e^{- t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $e^{- t}$ をまとめます。

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.3

$t y \frac{2}{e^{- t}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.3.1.3.1

$t$ と $\frac{2}{e^{- t}}$ をまとめます。

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.3.2

$y$ と $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ をまとめます。

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.4

$2$ を $y t$ の左に移動させます。

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.5

$\frac{1}{2}$ と $e^{- t}$ をまとめます。

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

ステップ 3.1.3.1.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.7

$K$ と $\frac{2}{e^{- t}}$ をまとめます。

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

ステップ 3.1.3.1.8

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

ステップ 3.3

$\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.2

$2$ を $2 y t + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ を $2 y t$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.2.3

$2$ を $2 (y t) + 2 K$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.3

$\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ を $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ に $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ に $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.5.2

$\sqrt{e^{- t}}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

ステップ 3.3.5.3

$\sqrt{e^{- t}}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

ステップ 3.3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

ステップ 3.3.5.6

${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ を $e^{- t}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{- t}}$ を $e^{\frac{- t}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.5.6.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.5.6.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

ステップ 3.3.5.6.5

$- 2$ と $\frac{t}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

ステップ 3.3.5.6.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.6.6.1

$2$ を $- 2 t$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

ステップ 3.3.5.6.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.6.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

ステップ 3.3.5.6.6.2.2

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 3.3.5.6.6.2.3

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

ステップ 3.3.5.6.6.2.4

$- t$ を $1$ で割ります。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

ステップ 3.3.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

ステップ 3.3.7

$\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ の因数を並べ替えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

ステップ 3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

ステップ 3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

ステップ 3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

微分積分 例

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