微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{- 2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (4 y^{- 2})$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{- 2}} y^{- 2}$

ステップ 1.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $y^{- 2}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{2} y^{- 2}$

ステップ 1.2.3

指数を足して $y^{2}$ に $y^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.1

$y^{- 2}$ を移動させます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 (y^{- 2} y^{2})$

ステップ 1.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2 + 2}$

ステップ 1.2.3.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{0}$

ステップ 1.2.4

$4 y^{0}$ を簡約します。

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 4 d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 4 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ を利用して $y^{- 2}$ を分子に移動させます。

$\int y^{2} d y = \int 4 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{3} y^{3}$ です。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{3} y^{3} = 4 x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (4 x + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ と $y^{3}$ をまとめます。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{3} = 3 (4 x + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 (4 x + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{3} = 3 (4 x) + 3 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$y^{3} = 12 x + 3 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{12 x + 3 K}$

ステップ 3.4

$3$ を $12 x + 3 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (4 x) + 3 K}$

ステップ 3.4.2

$3$ を $3 (4 x) + 3 K$ で因数分解します。

$y = \sqrt[3]{3 (4 x + K)}$

微分積分 例

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