微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

ステップ 1.2

両辺に $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ を掛けます。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

ステップ 1.3.2

$7$ と $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

ステップ 1.3.3

$x$ と $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ をまとめます。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

ステップ 1.3.4

まとめる。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

ステップ 1.3.5

$\ln^{8} (y)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

ステップ 1.3.5.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

ステップ 1.3.6

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

ステップ 1.3.6.2

$7 (x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

$u = \ln (y)$ とします。次に $d u = \frac{1}{y} d y$ すると、 $y d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u = \ln (y)$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$\ln (y)$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

ステップ 2.2.1.1.2

$y$ に関する $\ln (y)$ の微分係数は $\frac{1}{y}$ です。

$\frac{1}{y}$

ステップ 2.2.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $u^{8}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{9} u^{9}$ です。

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\ln (y)$ で置き換えます。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

$7$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $9$ を掛けます。

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{9}$ と $\ln^{9} (y)$ をまとめます。

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{7}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$9 \frac{7 x^{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$9$ と $\frac{7 x^{2}}{2}$ をまとめます。

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$7$ に $9$ をかけます。

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

ステップ 3.3.2

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

ステップ 3.3.3

対数の定義を利用して $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

ステップ 3.3.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

方程式を $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ として書き換えます。

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

ステップ 3.3.4.2

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$9$ を $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1.1

$9$ を $\frac{63 x^{2}}{2}$ で因数分解します。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

$9$ を $9 K$ で因数分解します。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

ステップ 3.3.4.2.1.3

$9$ を $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ で因数分解します。

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

ステップ 3.3.4.2.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

ステップ 3.3.4.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.3.1

$K$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

ステップ 3.3.4.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

ステップ 3.3.4.2.4

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

ステップ 3.3.4.2.5

$9$ と $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ をまとめます。

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

ステップ 3.3.4.2.6

$\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ を $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ に書き換えます。

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

微分積分 例

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