微分積分例

$\frac{\arcsin (x)}{y} d x + (1 - e^{y}) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{\arcsin (x)}{y} d x$ を引きます。

$(1 - e^{y}) d y = - \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

ステップ 2

両辺に $y$ を掛けます。

$y (1 - e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(y \cdot 1 + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

ステップ 3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$(y + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

ステップ 3.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$(y - y e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(y - y e^{y}) d y = - y \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

ステップ 3.5

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$y$ を $- y$ で因数分解します。

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

ステップ 3.5.3

式を書き換えます。

$(y - y e^{y}) d y = - \arcsin (x) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int y - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.2.3

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.2.4

$u = y$ と $d v = e^{y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - \int e^{y} d y) = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.2.5

$e^{y}$ の $y$ に関する積分は $e^{y}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - (e^{y} + C_{2})) = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.2.6

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = \int - \arcsin (x) d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - \int \arcsin (x) d x$

ステップ 4.3.2

$u = \arcsin (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

ステップ 4.3.3

$x$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

ステップ 4.3.4

$u = 1 - x^{2}$ とします。次に $d u = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.3.4.1

$u = 1 - x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.3.4.1.1

$1 - x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.2

微分します。

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ステップ 4.3.4.1.2.1

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3.4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 4.3.4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 4.3.4.1.4

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 4.3.4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u)$

ステップ 4.3.5

簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u)$

ステップ 4.3.5.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

ステップ 4.3.5.3

$2$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

ステップ 4.3.6

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

ステップ 4.3.7

簡約します。

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ステップ 4.3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

ステップ 4.3.7.2

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

ステップ 4.3.8

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 4.3.9

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.3.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

ステップ 4.3.9.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

ステップ 4.3.9.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.9.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

ステップ 4.3.9.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

ステップ 4.3.9.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

ステップ 4.3.10

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$

ステップ 4.3.11

$- (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$ を $- (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

ステップ 4.3.12

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

ステップ 4.3.13

簡約します。

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ステップ 4.3.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

ステップ 4.3.13.2

$- \arcsin (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

微分積分 例

微分積分例