微分積分例

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{1}{t}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y} \cdot d y = 5 \cdot \frac{1}{t} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 \frac{1}{t} d t$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 \frac{1}{t} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$5$ と $\frac{1}{t}$ をまとめます。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

ステップ 2.3.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{t}$ の $t$ に関する積分は $\ln (| t |)$ です。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| y |) = 5 \ln (| t |) + C$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |) = C$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

対数の中の $5$ を移動させて $- 5 \ln (| t |)$ を簡約します。

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

ステップ 3.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$

ステップ 3.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

ステップ 3.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{| y |}{{| t |}^{5}}$

ステップ 3.5

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式を $\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

ステップ 3.5.2

両辺に ${| t |}^{5}$ を掛けます。

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

ステップ 3.5.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

${| t |}^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

ステップ 3.5.3.1.2

式を書き換えます。

$| y | = e^{C} {| t |}^{5}$

ステップ 3.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.5.4.1

$e^{C} {| t |}^{5}$ の因数を並べ替えます。

$| y | = {| t |}^{5} e^{C}$

ステップ 3.5.4.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

積分定数を簡約します。

$y = \pm {| t |}^{5} C$

ステップ 4.2

定数を正または負でまとめます。

$y = C {| t |}^{5}$

微分積分 例

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