微分積分例

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

ステップ 1.1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

ステップ 1.1.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

ステップ 2.3.2

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.3.2.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 2.3.2.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2.3.3

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

ステップ 2.3.6

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{1}{4}$ と $\cos (u)$ をまとめます。

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.9

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$

微分積分 例

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