微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y - 3$ を掛けます。

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

ステップ 1.2

$y - 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

ステップ 2.2.4

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

ステップ 2.3.4

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

ステップ 3.2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

ステップ 3.3

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

ステップ 3.3.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

ステップ 3.3.3

$- 6 y$ を移動させます。

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

ステップ 3.3.4

$- 2 x$ を移動させます。

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

ステップ 3.3.5

$y^{2}$ と $- 2 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

簡約します。

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ステップ 3.6.1.4.1

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4.2

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4.3

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$4$ を $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1.5.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5.2

$4$ を $8 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5.3

$4$ を $8 K$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5.4

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5.5

$4$ を $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5.6

$4$ を $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5.7

$4$ を $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ を $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ に書き換えます。

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ステップ 3.6.1.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.8

$3$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ を簡約します。

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

ステップ 3.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

ステップ 5

$y$ が初期条件 $(0, 4)$ で正なので、 $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $x$ に、 $4$ を $y$ に代入します。

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

ステップ 6

$K$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ として書き換えます。

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

ステップ 6.2

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

ステップ 6.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

ステップ 6.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

ステップ 6.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ を ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.2.2

$2$ に $0$ をかけます。

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.3.1

$9 + 0 + K + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.3.1.1

$9$ と $0$ をたし算します。

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.3.1.2

$9 + K$ と $0$ をたし算します。

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

ステップ 6.4.2.1.3.2

簡約します。

$9 + K = 1^{2}$

ステップ 6.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$9 + K = 1$

ステップ 6.5

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$K = 1 - 9$

ステップ 6.5.2

$1$ から $9$ を引きます。

$K = - 8$

ステップ 7

$- 8$ を $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 8$ を $K$ に代入します。

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$9$ から $8$ を引きます。

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

ステップ 7.2.2

項を並べ替えます。

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$

微分積分 例

微分積分例