微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- 2 x}$

ステップ 1

$P (x) = 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 3 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{3 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{3 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{3 x}$ を掛けます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} e^{- 2 x}$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} e^{- 2 x}$

ステップ 2.3

指数を足して $e^{3 x}$ に $e^{- 2 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x - 2 x}$

ステップ 2.3.2

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{x}$

ステップ 2.4

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = e^{x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = e^{x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int e^{x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{3 x} y = \int e^{x} d x$

ステップ 6

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{3 x} y = e^{x} + C$

ステップ 7

$e^{3 x} y = e^{x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{3 x} y = e^{x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{x}$ と $e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

$e^{3 x}$ を $e^{x}$ で因数分解します。

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.2.1

$1$ を掛けます。

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2.4

$e^{- 2 x}$ を $1$ で割ります。

$y = e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

微分積分 例

微分積分例