微分積分例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 1

微分方程式を $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ として書き換えます。

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ステップ 1.1

項を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

$y$ を $- \frac{2 y}{x}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3

$y$ と $- \frac{2}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

$P (x) = - \frac{2}{x}$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 2.1

積分を設定します。

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2

$- \frac{2}{x}$ を積分します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

ステップ 2.3

積分定数を削除します。

$e^{- 2 \ln (x)}$

ステップ 2.4

対数のべき乗則を利用します。

$e^{\ln (x^{- 2})}$

ステップ 2.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$x^{- 2}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

各項に積分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

各項に $\frac{1}{x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\frac{d y}{d x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.3

$\frac{2}{x}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.4

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{2 y}{x}$ に $\frac{1}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.4.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.2.4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 6

左辺を積分します。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

ステップ 7

右辺を積分します。

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ステップ 7.1

式を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$x^{2}$ と $1$ を並べ替えます。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

ステップ 7.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

ステップ 7.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\arctan (x) + C$ です。

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

ステップ 8.2

両辺に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

ステップ 8.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$(\arctan (x) + C) x^{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

ステップ 8.3.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1.2.1

$\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

ステップ 8.3.2.1.2.2

$x^{2} \arctan (x)$ と $C x^{2}$ を並べ替えます。

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$

微分積分 例

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