微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{6} x^{6}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{6}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{7} x^{7}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ の $1$ を $x$ に、 $2$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ として書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

ステップ 4.2

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

ステップ 4.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

ステップ 4.2.1.4

$\frac{1}{7}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

ステップ 4.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $42$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.4.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

ステップ 4.2.4.2

$6$ に $7$ をかけます。

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{1}{7}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

ステップ 4.2.4.4

$7$ に $6$ をかけます。

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

ステップ 4.2.6

$7$ と $6$ をたし算します。

$\frac{13}{42} + K = 2$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{13}{42}$ を引きます。

$K = 2 - \frac{13}{42}$

ステップ 4.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{42}{42}$ を掛けます。

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

ステップ 4.3.3

$2$ と $\frac{42}{42}$ をまとめます。

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ に $42$ をかけます。

$K = \frac{84 - 13}{42}$

ステップ 4.3.5.2

$84$ から $13$ を引きます。

$K = \frac{71}{42}$

ステップ 5

$\frac{71}{42}$ を $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{71}{42}$ を $K$ に代入します。

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{6}$ と $x^{6}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{7}$ と $x^{7}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$

微分積分 例

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