微分積分例

$\frac{d x}{d y} = 8 x$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{x}$ を掛けます。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} (8 x)$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = 8 \frac{1}{x} x$

ステップ 1.2.2

$8$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{8}{x} x$

ステップ 1.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = \frac{8}{x} x$

ステップ 1.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d y} = 8$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{x} d x = 8 d y$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{x} d x = \int 8 d y$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\ln (| x |) + C_{1} = \int 8 d y$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\ln (| x |) + C_{1} = 8 y + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\ln (| x |) = 8 y + C$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| x |)} = e^{8 y + C}$

ステップ 3.2

対数の定義を利用して $\ln (| x |) = 8 y + C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{8 y + C} = | x |$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $| x | = e^{8 y + C}$ として書き換えます。

$| x | = e^{8 y + C}$

ステップ 3.3.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm e^{8 y + C}$

ステップ 4

定数項をまとめます。

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ステップ 4.1

$e^{8 y + C}$ を $e^{8 y} e^{C}$ に書き換えます。

$x = \pm e^{8 y} e^{C}$

ステップ 4.2

$e^{8 y}$ と $e^{C}$ を並べ替えます。

$x = \pm e^{C} e^{8 y}$

ステップ 4.3

定数を正または負でまとめます。

$x = C e^{8 y}$

微分積分 例

微分積分例