微分積分例

$\frac{d y}{d x} = - 8 x^{7} e^{- x^{8}}$ , $y (0) = 8$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $- 8$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 8 \int x^{7} e^{- x^{8}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{1} = x^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{1} = x^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3.2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 2.3.2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 8 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ を ${u_{1}}^{3}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 8 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ を ${u_{1}}^{4}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.2.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と ${u_{1}}^{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.3.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ と $e^{- {u_{1}}^{4}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $- 8$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.5.2.2.4

$- 4$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 4 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

ステップ 2.3.6

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。次に $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.6.1.1

${u_{1}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

ステップ 2.3.6.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1}$

ステップ 2.3.6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ を ${u_{2}}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{2}}$ を ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.2

$\frac{1}{2}$ と $u_{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.7.3

$\frac{u_{2}}{2}$ と $e^{- {u_{2}}^{2}}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 2.3.8

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.1

$\frac{1}{2}$ と $- 4$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.9.2

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.9.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.2

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.3

式を書き換えます。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.9.2.2.4

$- 2$ を $1$ で割ります。

$y + C_{1} = - 2 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.10

$u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ とします。次に $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ です。 $u_{3}$ と $d$ $u_{3}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.10.1

$u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ とします。 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.10.1.1

$- {u_{2}}^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

ステップ 2.3.10.1.2

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $u_{2}$ に対する $- {u_{2}}^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

ステップ 2.3.10.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 u_{2})$

ステップ 2.3.10.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 u_{2}$

ステップ 2.3.10.2

$u_{3}$ と $d u_{3}$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

ステップ 2.3.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

ステップ 2.3.11.2

$e^{u_{3}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

ステップ 2.3.12

$- 1$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

ステップ 2.3.13

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

ステップ 2.3.14

$\frac{1}{2}$ は $u_{3}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

ステップ 2.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.1

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 2.3.15.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.15.2.1

共通因数を約分します。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 2.3.15.2.2

式を書き換えます。

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 2.3.15.3

$\int e^{u_{3}} d u_{3}$ に $1$ をかけます。

$y + C_{1} = \int e^{u_{3}} d u_{3}$

ステップ 2.3.16

$e^{u_{3}}$ の $u_{3}$ に関する積分は $e^{u_{3}}$ です。

$y + C_{1} = e^{u_{3}} + C_{2}$

ステップ 2.3.17

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.17.1

$u_{3}$ のすべての発生を $- {u_{2}}^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- {u_{2}}^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.17.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.17.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$y + C_{1} = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ の $0$ を $x$ に、 $8$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$8 = e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$ として書き換えます。

$e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${({(0^{2})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{- {(0^{2})}^{2 \cdot 2}} + K = 8$

ステップ 4.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{- {(0^{2})}^{4}} + K = 8$

ステップ 4.2.2

${(0^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{- 0^{2 \cdot 4}} + K = 8$

ステップ 4.2.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$e^{- 0^{8}} + K = 8$

ステップ 4.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{- 0} + K = 8$

ステップ 4.2.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e^{0} + K = 8$

ステップ 4.2.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 + K = 8$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$K = 8 - 1$

ステップ 4.3.2

$8$ から $1$ を引きます。

$K = 7$

ステップ 5

$7$ を $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$7$ を $K$ に代入します。

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + 7$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = e^{- {(x^{2})}^{2 \cdot 2}} + 7$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = e^{- {(x^{2})}^{4}} + 7$

ステップ 5.2.2

${(x^{2})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = e^{- x^{2 \cdot 4}} + 7$

ステップ 5.2.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = e^{- x^{8}} + 7$

微分積分 例

微分積分例