微分積分例

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$\frac{d y}{d x}$ について解きます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $\ln (x^{2})$ を足します。

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

ステップ 1.1.2

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ の各項を $2 x$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ の各項を $2 x$ で割ります。

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

ステップ 1.1.2.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2})$ を展開します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

ステップ 1.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$u = \ln (x)$ とします。次に $d u = \frac{1}{x} d x$ すると、 $x d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$u = \ln (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.1.1.1

$\ln (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 2.3.1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$y + C_{1} = \int u d u$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $u$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{2} u^{2}$ です。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$

微分積分 例

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