微分積分例

$\frac{d y}{d t} = y^{4}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{y^{4}}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

ステップ 1.2

$y^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = 1$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{y^{4}} d y = 1 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int d t$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

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ステップ 2.2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.2.1.1

$y^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int d t$

ステップ 2.2.1.2

${(y^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int d t$

ステップ 2.2.1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int y^{- 4} d y = \int d t$

ステップ 2.2.2

べき乗則では、 $y^{- 4}$ の $y$ に関する積分は $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ です。

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ を $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.3.2

簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$\frac{1}{y^{3}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.2.3.2.2

$3$ を $y^{3}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$3 y^{3}, 1, 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$3 y^{3}$

ステップ 3.2

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ の各項に $3 y^{3}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ の各項に $3 y^{3}$ を掛けます。

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 y^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{3 y^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

ステップ 3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 3 t y^{3} + K (3 y^{3})$

ステップ 3.2.3.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- 1 = 3 t y^{3} + 3 K y^{3}$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ として書き換えます。

$3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

ステップ 3.3.2

$3 y^{3}$ を $3 t y^{3} + 3 K y^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$3 y^{3}$ を $3 t y^{3}$ で因数分解します。

$3 y^{3} (t) + 3 K y^{3} = - 1$

ステップ 3.3.2.2

$3 y^{3}$ を $3 K y^{3}$ で因数分解します。

$3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$3 y^{3}$ を $3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K$ で因数分解します。

$3 y^{3} (t + K) = - 1$

ステップ 3.3.3

$3 y^{3} (t + K) = - 1$ の各項を $3 (t + K)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$3 y^{3} (t + K) = - 1$ の各項を $3 (t + K)$ で割ります。

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2

$t + K$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{3} = - \frac{1}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5

$\sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.5.1

$- \frac{1}{3 (t + K)}$ を ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5.1.2

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5.4

$\sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$ を $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5.5

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

ステップ 3.3.5.6

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ をかけます。

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}})$

ステップ 3.3.5.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.3.5.7.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ をかけます。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (t + K)} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

ステップ 3.3.5.7.2

$\sqrt[3]{3 (t + K)}$ を $1$ 乗します。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

ステップ 3.3.5.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.3.5.7.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}}$

ステップ 3.3.5.7.5

${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}$ を $3 (t + K)$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.5.7.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ を ${(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{({(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.3.5.7.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.3.5.7.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.7.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.3.5.7.5.4.2

式を書き換えます。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{1}}$

ステップ 3.3.5.7.5.5

簡約します。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.5.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.5.8.1

${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}$ を $\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}$ に書き換えます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.5.8.2

積の法則を $3 (t + K)$ に当てはめます。

$y = - \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

ステップ 3.3.5.8.3

$3$ を $2$ 乗します。

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

微分積分 例

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