微分積分例

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 15$

ステップ 1

$P (x) = 3$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 3 d x}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{3 x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{3 x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{3 x}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{3 x}$ を掛けます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} \cdot 15$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} \cdot 15$

ステップ 2.3

$15$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 15 \cdot e^{3 x}$

ステップ 2.4

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 15 e^{3 x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 15 e^{3 x}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 15 e^{3 x}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 15 e^{3 x} d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{3 x} y = \int 15 e^{3 x} d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $15$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = 15 \int e^{3 x} d x$

ステップ 6.2

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 6.2.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{3 x} y = 15 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 6.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$e^{3 x} y = 15 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 6.4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$e^{3 x} y = 15 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{3}$ と $15$ をまとめます。

$e^{3 x} y = \frac{15}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2

$15$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$3$ を $15$ で因数分解します。

$e^{3 x} y = \frac{3 \cdot 5}{3} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$e^{3 x} y = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{3 x} y = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{3 x} y = \frac{5}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$e^{3 x} y = 5 \int e^{u} d u$

ステップ 6.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{3 x} y = 5 (e^{u} + C)$

ステップ 6.7

簡約します。

$e^{3 x} y = 5 e^{u} + C$

ステップ 6.8

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{3 x} y = 5 e^{3 x} + C$

ステップ 7

$e^{3 x} y = 5 e^{3 x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{3 x} y = 5 e^{3 x} + C$ の各項を $e^{3 x}$ で割ります。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{5 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{5 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{5 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{3 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{5 e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

ステップ 7.3.1.2

$5$ を $1$ で割ります。

$y = 5 + \frac{C}{e^{3 x}}$

微分積分 例

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