微分積分例

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

ステップ 1

$v = e^{x - y}$ とします。 $v$ を $e^{x - y}$ に代入します。

$\frac{d y}{d x} = x v$

ステップ 2

$e^{x - y}$ を微分し、 $\frac{d v}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x - y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - y$ とします。

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x - y$ で置き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

ステップ 2.2

総和則では、 $x - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

ステップ 3

$v$ を $e^{x - y}$ に代入します。

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

ステップ 4

微分係数を微分方程式に戻し入れます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

ステップ 5

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ の各項に $- v$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ の各項に $- v$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$v$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2.1.1.2

$v$ を $- v$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

ステップ 5.2.1.4

$- v$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

ステップ 5.3.2

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$v$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

ステップ 5.3.2.2

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

ステップ 6

微分方程式を解くために、 $n$ が $v^{2}$ の指数のとき、 $v = y^{1 - n}$ とします。

$v = v^{- 1}$

ステップ 7

$v$ について方程式を解きます。

$y = v^{- 1}$

ステップ 8

$x$ に関する $y$ の微分係数を取ります。

$y' = v^{- 1}$

ステップ 9

$x$ に関する $v^{- 1}$ の微分係数を取ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$v^{- 1}$ に微分係数を取ります。

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

ステップ 9.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

ステップ 9.3

$f (x) = 1$ および $g (x) = v$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 9.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1

$v$ に $0$ をかけます。

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3.2

$0$ から $\frac{d}{d x} [v]$ を引きます。

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

ステップ 9.5

$\frac{d}{d x} [v]$ を $v'$ に書き換えます。

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

ステップ 10

元の方程式 $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ の $- \frac{v'}{v^{2}}$ を $\frac{d v}{d x}$ に、 $v^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

ステップ 11

代入された微分方程式の解を解きます。

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ステップ 11.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 11.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ の各項に $- v^{2}$ を掛けます。

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1.1

$v^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1.1.1

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.1.2

$v^{2}$ を $- v^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.1.4

式を書き換えます。

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.3

$\frac{d v}{d x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.5

指数を足して $v^{- 1}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1.5.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.5.3

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.6

$- 1 \cdot - 1 v^{1}$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.2.1.8

$v$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.1

${(v^{- 1})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

ステップ 11.1.3.2

指数を足して $v^{- 2}$ に $v^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.2.1

$v^{2}$ を移動させます。

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.2.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.3

$- x v^{0} \cdot - 1$ を簡約します。

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

ステップ 11.1.3.4

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.3.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

ステップ 11.1.3.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d v}{d x} + v = x$

ステップ 11.2

$P (x) = 1$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

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ステップ 11.2.1

積分を設定します。

$e^{\int d x}$

ステップ 11.2.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{x + C}$

ステップ 11.2.3

積分定数を削除します。

$e^{x}$

ステップ 11.3

各項に積分因数 $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1

各項に $e^{x}$ を掛けます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

ステップ 11.3.2

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

ステップ 11.4

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

ステップ 11.5

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

ステップ 11.6

左辺を積分します。

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

ステップ 11.7

右辺を積分します。

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ステップ 11.7.1

$u = x$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

ステップ 11.7.2

$e^{x}$ の $x$ に関する積分は $e^{x}$ です。

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

ステップ 11.7.3

簡約します。

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

ステップ 11.8

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.1

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ の各項を $e^{x}$ で割ります。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 11.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 11.8.2.1.2

$v$ を $1$ で割ります。

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 11.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.3.1.1

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 11.8.3.1.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 11.8.3.1.2

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.8.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 11.8.3.1.2.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 12

$v^{- 1}$ を $v$ に代入します。

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 13

$v$ のすべての発生を $e^{x - y}$ で置き換えます。

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

ステップ 14

$y$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

ステップ 14.2

左辺を展開します。

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ステップ 14.2.1

$- x + y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x + y})$ を展開します。

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

ステップ 14.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

ステップ 14.2.3

$- x + y$ に $1$ をかけます。

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

ステップ 14.3

方程式の両辺に $x$ を足します。

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$

微分積分 例

微分積分例