微分積分例

$\frac{d f}{d x} = \frac{4 x + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $4 x + x f^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $x f^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (f^{2})}{f - x^{2} f}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $x \cdot 4 + x (f^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

ステップ 1.1.4

$x$ に $4 + f^{2}$ をかけます。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

ステップ 1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f$ を $f - x^{2} f$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$f$ を $1$ 乗します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f^{1} - x^{2} f}$

ステップ 1.2.1.2

$f$ を $f^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 - x^{2} f}$

ステップ 1.2.1.3

$f$ を $- x^{2} f$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 + f (- x^{2})}$

ステップ 1.2.1.4

$f$ を $f \cdot 1 + f (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot (1 - x^{2})}$

ステップ 1.2.1.5

$f$ に $1 - x^{2}$ をかけます。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 - x^{2})}$

ステップ 1.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1^{2} - x^{2})}$

ステップ 1.2.3

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

ステップ 1.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.3

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f}$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{f}{4 + f^{2}}$ を掛けます。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ に $\frac{4 + f^{2}}{f}$ をかけます。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x) f}$

ステップ 1.5.2

$f$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$f$ を $(1 + x) (1 - x) f$ で因数分解します。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

ステップ 1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

ステップ 1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.5.3

$4 + f^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$4 + f^{2}$ を $x (4 + f^{2})$ で因数分解します。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.5.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.5.3.3

式を書き換えます。

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 1.6

方程式を書き換えます。

$\frac{f}{4 + f^{2}} d f = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{f}{4 + f^{2}} d f = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = 4 + f^{2}$ とします。次に $d u_{1} = 2 f d f$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = f d f$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = 4 + f^{2}$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d f}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$4 + f^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d f} [4 + f^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $4 + f^{2}$ の $f$ に関する積分は $\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$ です。

$\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.3

$4$ は $f$ について定数なので、 $f$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

ステップ 2.2.1.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d f} [f^{n}]$ は $n f^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 f$

ステップ 2.2.1.1.5

$0$ と $2 f$ をたし算します。

$2 f$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{1}{u_{1}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.2.2

$2$ を $u_{1}$ の左に移動させます。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\ln (| u_{1} |)$ です。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.5

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.2.6

$u_{1}$ のすべての発生を $4 + f^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 x d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.1

$(1 + x) (1 - x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

ステップ 2.3.1.1.2

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.3.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6.2

$- 1$ を $1 + x$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.6.3

$- 1 (1 + x)$ を $- (1 + x)$ に書き換えます。

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

ステップ 2.3.1.1.3.7

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.1.1.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.1.1.3.9

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.1.1.3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

ステップ 2.3.1.1.3.11

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$- (1 + x) + 1 - x$

ステップ 2.3.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.1

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1.4.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 - x + 1 - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$- x + 0 - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2.3

$- x$ と $0$ をたし算します。

$- x - x$

ステップ 2.3.1.1.4.2.4

$- x$ から $x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 2.3.1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

ステップ 2.3.6

簡約します。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

ステップ 2.3.7

$u_{2}$ のすべての発生を $(1 + x) (1 - x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

ステップ 3

$f$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |))$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| 4 + f^{2} |)$ をまとめます。

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$\ln (| 1 - x^{2} |)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

ステップ 3.2.2.1.2

$C$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$C$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.3.1

共通因数を約分します。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.3.2

式を書き換えます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ を $C$ の左に移動させます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

ステップ 3.3

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (| 4 + f^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

ステップ 3.4

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (| 4 + f^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

ステップ 3.5

絶対値を乗算するために、各絶対値の内側にある項を乗算します。

$\ln (| (4 + f^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.6

分配法則（FOIL法）を使って $(4 + f^{2}) (1 - x^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.6.3

分配則を当てはめます。

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.7.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.7.3

$f^{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

ステップ 3.7.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$

ステップ 3.8

$f$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

ステップ 3.9

対数の定義を利用して $\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |$

ステップ 3.10

$f$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

方程式を $| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ として書き換えます。

$| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

ステップ 3.10.2

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

ステップ 3.10.3

$f$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

ステップ 3.10.3.2

方程式の両辺に $4 x^{2}$ を足します。

$f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.4

$f^{2}$ を $f^{2} - f^{2} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.10.4.1

$1$ を掛けます。

$f^{2} \cdot 1 - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.4.2

$f^{2}$ を $- f^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.4.3

$f^{2}$ を $f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2})$ で因数分解します。

$f^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.6

因数分解。

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ステップ 3.10.6.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$f^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.6.2

不要な括弧を削除します。

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

ステップ 3.10.7

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ の各項を $(1 + x) (1 - x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.7.1

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ の各項を $(1 + x) (1 - x)$ で割ります。

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.10.7.2.1

$1 + x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.7.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.7.2.2

$1 - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.7.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.7.2.2.2

$f^{2}$ を $1$ で割ります。

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.10.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.8

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9

$\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ を簡約します。

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ステップ 3.10.9.1

公分母の分子をまとめます。

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9.2

公分母の分子をまとめます。

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9.3

$\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ を $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に書き換えます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9.4

$\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.10.9.5.1

$\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ をかけます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9.5.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

ステップ 3.10.9.5.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を $1$ 乗します。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

ステップ 3.10.9.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.10.9.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

ステップ 3.10.9.5.6

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.9.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.10.9.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.10.9.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.10.9.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.9.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.10.9.5.6.4.2

式を書き換えます。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

ステップ 3.10.9.5.6.5

簡約します。

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 3.10.9.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$f = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$f = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

微分積分 例

微分積分例