微分積分例

$\frac{d f}{d x} = 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 11$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d f = 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d f = \int 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$f + C_{1} = \int 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$55$ は $x$ に対して定数なので、 $55$ を積分の外に移動させます。

$f + C_{1} = 55 \int x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

ステップ 2.3.2

$u = 11 x^{2} + 4$ とします。次に $d u = 22 x d x$ すると、 $\frac{1}{22} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 11 x^{2} + 4$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$11 x^{2} + 4$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [11 x^{2} + 4]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $11 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x^{2}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$11 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $11$ をかけます。

$22 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$22 x + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$22 x$ と $0$ をたし算します。

$22 x$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$f + C_{1} = 55 \int \sqrt{u} \frac{1}{22} d u$

ステップ 2.3.3

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{22}$ をまとめます。

$f + C_{1} = 55 \int \frac{\sqrt{u}}{22} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{22}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{22}$ を積分の外に移動させます。

$f + C_{1} = 55 (\frac{1}{22} \int \sqrt{u} d u)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1.1

$\frac{1}{22}$ と $55$ をまとめます。

$f + C_{1} = \frac{55}{22} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.5.1.2

$55$ と $22$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.1

$11$ を $55$ で因数分解します。

$f + C_{1} = \frac{11 (5)}{22} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.1.2.2.1

$11$ を $22$ で因数分解します。

$f + C_{1} = \frac{11 \cdot 5}{11 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$f + C_{1} = \frac{11 \cdot 5}{11 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.5.1.2.2.3

式を書き換えます。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

ステップ 2.3.5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ を $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ に書き換えます。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.4

$10$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.7.2.4.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $11 x^{2} + 4$ で置き換えます。

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ の $0$ を $x$ に、 $11$ を $f$ に代入し $K$ の値を求めます。

$11 = \frac{5}{3} {(11 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $\frac{5}{3} \cdot {(11 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$ として書き換えます。

$\frac{5}{3} \cdot {(11 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{5}{3} \cdot {(11 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

ステップ 4.2.1.2

$11$ に $0$ をかけます。

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

ステップ 4.2.2

$0$ と $4$ をたし算します。

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 11$

ステップ 4.2.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

ステップ 4.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 11$

ステップ 4.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 11$

ステップ 4.2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 11$

ステップ 4.2.6

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 11$

ステップ 4.2.7

$\frac{5}{3} \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 4.2.7.1

$\frac{5}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 11$

ステップ 4.2.7.2

$5$ に $8$ をかけます。

$\frac{40}{3} + K = 11$

ステップ 4.3

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $\frac{40}{3}$ を引きます。

$K = 11 - \frac{40}{3}$

ステップ 4.3.2

$11$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$K = 11 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

ステップ 4.3.3

$11$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$K = \frac{11 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

ステップ 4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$K = \frac{11 \cdot 3 - 40}{3}$

ステップ 4.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.5.1

$11$ に $3$ をかけます。

$K = \frac{33 - 40}{3}$

ステップ 4.3.5.2

$33$ から $40$ を引きます。

$K = \frac{- 7}{3}$

ステップ 4.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$K = - \frac{7}{3}$

ステップ 5

$- \frac{7}{3}$ を $f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- \frac{7}{3}$ を $K$ に代入します。

$f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{7}{3}$

ステップ 5.2

$\frac{5}{3}$ と ${(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$f = \frac{5 {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{7}{3}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$f = \frac{5 {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 7}{3}$

微分積分 例

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