微分積分例

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

ステップ 1

微分方程式を完全微分方程式法に合うように書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $(x - y) d x$ を引きます。

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

ステップ 1.2

書き換えます。

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

ステップ 2

$M (x, y) = - (x - y)$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

ステップ 2.2

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (x - y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [x - y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.4

$x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d y} [- y]$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 2.6

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.7

掛け算します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.7.2

$\frac{d}{d y} [y]$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

ステップ 3

$N (x, y) = x + y$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.4

$y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

ステップ 3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 4

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 4.1

$1$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$1 = 1$

ステップ 4.2

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$1 = 1$ は恒等式です。

ステップ 5

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

ステップ 6

$M (x, y) = - (x - y)$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = - \int x - y d x$

ステップ 6.2

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

ステップ 6.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

ステップ 6.4

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

ステップ 6.5

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

ステップ 6.6

簡約します。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

ステップ 7

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

ステップ 8

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

ステップ 9

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

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ステップ 9.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

ステップ 9.2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 9.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

ステップ 9.2.2

総和則では、 $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ の値を求めます。

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ステップ 9.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ です。

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.2

総和則では、 $\frac{x^{2}}{2} - y x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ です。

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.3

$\frac{x^{2}}{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $\frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.4

$- x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y x$ の微分係数は $- x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.7

$0$ から $x$ を引きます。

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.3.9

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

ステップ 9.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

ステップ 9.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

ステップ 10

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

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ステップ 10.1

$\frac{d g}{d y}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 10.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

ステップ 10.1.2

$x + y - x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.1.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

ステップ 10.1.2.2

$y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = y$

ステップ 11

$y$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

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ステップ 11.1

$\frac{d g}{d y} = y$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

ステップ 11.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int y d y$

ステップ 11.3

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 12

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13

各項を簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.2

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.3

$- (- y x)$ を掛けます。

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ステップ 13.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.3.2

$y$ に $1$ をかけます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

ステップ 13.4

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$

微分積分 例

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