微分積分例

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$ , $y (3) = 1$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

因数をもう一度まとめます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

ステップ 1.2

両辺に $e^{y - 1}$ を掛けます。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

まとめる。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

ステップ 1.3.2

$e^{y - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$e^{y - 1}$ を ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ で因数分解します。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

式を書き換えます。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.4

方程式を書き換えます。

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$u_{1} = y - 1$ とします。次に $d u_{1} = d y$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$u_{1} = y - 1$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$y - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

ステップ 2.2.1.1.2

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

ステップ 2.2.1.1.4

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.2.1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.2.1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.2

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y - 1$ で置き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$u_{2} = x + 2$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$u_{2} = x + 2$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x + 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2.1.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 2.3.2.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

ステップ 2.3.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

${u_{2}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.3.2

${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

ステップ 2.3.4

べき乗則では、 ${u_{2}}^{- 2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $- {u_{2}}^{- 1}$ です。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ を $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ に書き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.2.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 5$ と $\frac{1}{u_{2}}$ をまとめます。

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

ステップ 2.3.6

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.2

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{y - 1})$ を展開します。

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.2.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.2.3

$y - 1$ に $1$ をかけます。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分数 $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ を2つの分数に分割します。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

ステップ 3.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分数 $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ を2つの分数に分割します。

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

ステップ 3.3.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 5

初期条件を利用し、 $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ の $3$ を $x$ に、 $1$ を $y$ に代入し $K$ の値を求めます。

$1 = \ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1$

ステップ 6

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式を $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$ として書き換えます。

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$

ステップ 6.2

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 1 - 1$

ステップ 6.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$

ステップ 6.3

$K$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})} = e^{0}$

ステップ 6.4

対数の定義を利用して $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = - \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$

ステップ 6.5

$K$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

方程式を $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$ として書き換えます。

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$

ステップ 6.5.2

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 5 + K \cdot 3 + K}{3 + 2} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.2

$3$ を $K$ の左に移動させます。

$\frac{- 5 + 3 K + K}{3 + 2} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

$3 K$ と $K$ をたし算します。

$\frac{- 5 + 4 K}{3 + 2} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.3.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 5 + 4 K}{5} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.3.3

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (5) + 4 K}{5} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.3.4

$- 1$ を $4 K$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (5) - (- 4 K)}{5} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.3.5

$- 1$ を $- 1 (5) - (- 4 K)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (5 - 4 K)}{5} = e^{0}$

ステップ 6.5.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 - 4 K}{5} = e^{0}$

ステップ 6.5.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{5 - 4 K}{5} = 1$

ステップ 6.5.4

方程式の両辺に $- 5$ を掛けます。

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5}) = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1.1

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1.1.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1.1.1.1

$- \frac{5 - 4 K}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 5 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5.1.1.1.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$5 (- 1) \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$5 \cdot - 1 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5.1.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5.1.1.2.2

$5 - 4 K$ に $1$ をかけます。

$5 - 4 K = - 5 \cdot 1$

ステップ 6.5.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.2.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$5 - 4 K = - 5$

ステップ 6.5.6

$K$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.6.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- 4 K = - 5 - 5$

ステップ 6.5.6.2

$- 5$ から $5$ を引きます。

$- 4 K = - 10$

ステップ 6.5.7

$- 4 K = - 10$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.1

$- 4 K = - 10$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

ステップ 6.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

ステップ 6.5.7.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{- 10}{- 4}$

ステップ 6.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1

$- 10$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1.1

$- 2$ を $- 10$ で因数分解します。

$K = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

ステップ 6.5.7.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.7.3.1.2.1

$- 2$ を $- 4$ で因数分解します。

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

ステップ 6.5.7.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

ステップ 6.5.7.3.1.2.3

式を書き換えます。

$K = \frac{5}{2}$

ステップ 7

$\frac{5}{2}$ を $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ の中の $K$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{5}{2}$ を $K$ に代入します。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5}{2} x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$\frac{5}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5 x}{2}}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.1.3

$\frac{5 x}{2}$ に $\frac{1}{x + 2}$ をかけます。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.2

$- \frac{5}{x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$\frac{5}{x + 2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.3.2

$(x + 2) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 2)} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \ln (\frac{- 5 \cdot 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.5

$- 5$ に $2$ をかけます。

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.6

$5$ を $- 10 + 5 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

$5$ を $- 10$ で因数分解します。

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.6.2

$5$ を $5 \cdot - 2 + 5 x$ で因数分解します。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

ステップ 7.2.7

$\frac{K}{x + 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

ステップ 7.2.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 (x + 2)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.8.1

$\frac{K}{x + 2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2}) + 1$

ステップ 7.2.8.2

$(x + 2) \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

ステップ 7.2.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x) + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

ステップ 7.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.10.1

分配則を当てはめます。

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

ステップ 7.2.10.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

ステップ 7.2.10.3

$2$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + 2 K}{2 (x + 2)}) + 1$

微分積分 例

微分積分例