微分積分例

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$

ステップ 1

$P (t) = 5$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (t) d t}$ で定義されます。

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ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int 5 d t}$

ステップ 1.2

定数の法則を当てはめます。

$e^{5 t + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{5 t}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{5 t}$ を掛けます。

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ステップ 2.1

各項に $e^{5 t}$ を掛けます。

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

ステップ 2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

ステップ 2.3

$10$ を $e^{5 t}$ の左に移動させます。

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

ステップ 2.4

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ の因数を並べ替えます。

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

ステップ 6

右辺を積分します。

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ステップ 6.1

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $10$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

ステップ 6.2

$u = 5 t$ とします。次に $d u = 5 d t$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$u = 5 t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 6.2.1.1

$5 t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [5 t]$

ステップ 6.2.1.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 6.2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 6.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

ステップ 6.3

$e^{u}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

ステップ 6.4

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{1}{5}$ と $10$ をまとめます。

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2

$10$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.3

式を書き換えます。

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

ステップ 6.5.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

ステップ 6.6

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

ステップ 6.7

簡約します。

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

ステップ 6.8

$u$ のすべての発生を $5 t$ で置き換えます。

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

ステップ 7

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ の各項を $e^{5 t}$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ の各項を $e^{5 t}$ で割ります。

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$e^{5 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

ステップ 7.2.1.2

$I$ を $1$ で割ります。

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$e^{5 t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1.1

共通因数を約分します。

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

ステップ 7.3.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$

微分積分 例

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