微分積分例

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$\frac{d y}{d x}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x^{4}$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.1

$x^{2}$ を $6 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.1.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.1.2.4

$6 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.2.1

$x$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.1.2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 1.2

方程式を書き換えます。

$d y = (6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.4

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 2.3.7.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.7.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.3.7.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{- 2} d x$

ステップ 2.3.8

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 (- x^{- 1} + C_{4})$

ステップ 2.3.9

簡約します。

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ステップ 2.3.9.1

簡約します。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) + 5 (- x^{- 1}) + C_{5}$

ステップ 2.3.9.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) - 5 x^{- 1} + C_{5}$

ステップ 2.3.10

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C$

微分積分 例

微分積分例