微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 4$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = x + \ln (| x |) + C$

$y = x + \ln (| x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = x + \ln (| x |) + C$ の $1$ を $x$ に、 $4$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$4 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $1 + \ln (| 1 |) + C = 4$ として書き換えます。

$1 + \ln (| 1 |) + C = 4$

ステップ 4.2

$1 + \ln (| 1 |) + C$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$1 + \ln (1) + C = 4$

ステップ 4.2.1.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$1 + 0 + C = 4$

$1 + 0 + C = 4$

ステップ 4.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + C = 4$

$1 + C = 4$

ステップ 4.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$C = 4 - 1$

ステップ 4.3.2

$4$ から $1$ を引きます。

$C = 3$

$C = 3$

$C = 3$

ステップ 5

$3$ を $y = x + \ln (| x |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ を $C$ に代入します。

$y = x + \ln (| x |) + 3$

$y = x + \ln (| x |) + 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$