微分積分例

$\frac{d s}{d t} = 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int 13 t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$13$ は $t$ に対して定数なので、 $13$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 13 \int t {(2 t^{2} - 1)}^{3} d t$

ステップ 2.3.2

$u = 2 t^{2} - 1$ とします。次に $d u = 4 t d t$ すると、 $\frac{1}{4} d u = t d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$u = 2 t^{2} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$2 t^{2} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]$

ステップ 2.3.2.1.2

総和則では、 $2 t^{2} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.2.1.3.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1.4.1

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 t + 0$

ステップ 2.3.2.1.4.2

$4 t$ と $0$ をたし算します。

$4 t$

ステップ 2.3.2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$s + C_{1} = 13 \int u^{3} \frac{1}{4} d u$

ステップ 2.3.3

$u^{3}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$s + C_{1} = 13 \int \frac{u^{3}}{4} d u$

ステップ 2.3.4

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = 13 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u)$

ステップ 2.3.5

$\frac{1}{4}$ と $13$ をまとめます。

$s + C_{1} = \frac{13}{4} \int u^{3} d u$

ステップ 2.3.6

べき乗則では、 $u^{3}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{4} u^{4}$ です。

$s + C_{1} = \frac{13}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

ステップ 2.3.7

簡約します。

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ステップ 2.3.7.1

$\frac{13}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ を $\frac{13}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ に書き換えます。

$s + C_{1} = \frac{13}{4} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2

簡約します。

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ステップ 2.3.7.2.1

$\frac{13}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$s + C_{1} = \frac{13}{4 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.7.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$s + C_{1} = \frac{13}{16} u^{4} + C_{2}$

ステップ 2.3.8

$u$ のすべての発生を $2 t^{2} - 1$ で置き換えます。

$s + C_{1} = \frac{13}{16} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = \frac{13}{16} {(2 t^{2} - 1)}^{4} + K$

微分積分 例

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