微分積分例

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

ステップ 1

$P (x) = a x + b$ のとき、積分因数は公式 $e^{\int P (x) d x}$ で定義されます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

積分を設定します。

$e^{\int a x + b d x}$

ステップ 1.2

$a x + b$ を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

単一積分を複数積分に分割します。

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

ステップ 1.2.2

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $a$ を積分の外に移動させます。

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

ステップ 1.2.3

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

ステップ 1.2.4

定数の法則を当てはめます。

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

ステップ 1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

ステップ 1.2.5.2

簡約します。

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

ステップ 1.3

積分定数を削除します。

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

ステップ 1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$\frac{1}{2}$ と $a$ をまとめます。

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

ステップ 1.4.2

$\frac{a}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

ステップ 2

各項に積分因数 $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項に $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ を掛けます。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

ステップ 2.3

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ に $0$ をかけます。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

ステップ 2.4

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ の因数を並べ替えます。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

ステップ 3

左辺を積を微分した結果として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

ステップ 4

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

ステップ 5

左辺を積分します。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

ステップ 6

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$0$ の $x$ に関する積分は $0$ です。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

ステップ 6.2

$0$ と $C$ をたし算します。

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

ステップ 7

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ の各項を $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ の各項を $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ で割ります。

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

ステップ 7.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

ステップ 7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

$b x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.1.2

$b x$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

ステップ 7.3.1.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

ステップ 7.3.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.4.1

$x$ を $a x^{2} + b x \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.4.1.1

$x$ を $a x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

ステップ 7.3.1.4.1.2

$x$ を $b x \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

ステップ 7.3.1.4.1.3

$x$ を $x (a x) + x (b \cdot 2)$ で因数分解します。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

ステップ 7.3.1.4.2

$2$ を $b$ の左に移動させます。

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例