微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $7$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.5

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

ステップ 2.3.6

定数の法則を当てはめます。

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

ステップ 2.3.7

簡約します。

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

ステップ 2.3.8

項を並べ替えます。

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ の $1$ を $x$ に、 $6$ を $y$ に代入し $C$ の値を求めます。

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

ステップ 4

$C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ として書き換えます。

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

ステップ 4.2

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

ステップ 4.2.1.2

$7$ を $1$ で割ります。

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

ステップ 4.2.1.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

ステップ 4.2.1.4

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

ステップ 4.2.1.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

ステップ 4.2.1.6

$4$ に $0$ をかけます。

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

ステップ 4.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 3 - 7$ と $0$ をたし算します。

$- 3 - 7 + C = 6$

ステップ 4.2.2.2

$- 3$ から $7$ を引きます。

$- 10 + C = 6$

ステップ 4.3

$C$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の両辺に $10$ を足します。

$C = 6 + 10$

ステップ 4.3.2

$6$ と $10$ をたし算します。

$C = 16$

ステップ 5

$16$ を $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ の中の $C$ に代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$16$ を $C$ に代入します。

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

対数の中の $4$ を移動させて $4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

ステップ 5.2.2

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$

微分積分 例

微分積分例