微分積分例

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

ステップ 1

変数を分けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

両辺に $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ に $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ に $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.2

$\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.3

$\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6

${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ を $(2 + y) (2 - y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ を ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.4.6.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.5

$2$ と $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

ステップ 1.2.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

ステップ 1.2.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

ステップ 1.2.8

$\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

$x$ と $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.8.2

$\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ と $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.8.3

$\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.8.4

$\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.8.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.8.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ を $(2 + y) (2 - y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ を ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.1.5

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + y) (2 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.2

$- 2 y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.9.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.10

$2 + y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

ステップ 1.2.10.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

ステップ 1.2.11

$2 - y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

ステップ 1.2.11.2

$x \cdot 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

ステップ 1.2.12

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

ステップ 2

両辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2

左辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ の $y$ に関する積分は $\arcsin (\frac{y}{2})$ である

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.2.3

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ を $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ に書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ を $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ に書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、逆正弦の中から $y$ を取り出します。

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

ステップ 3.4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

ステップ 3.4.1.2

式を書き換えます。

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$

微分積分 例

微分積分例