微分積分例

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $x$ を掛けます。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

ステップ 1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$x \frac{d x}{d t} = 9$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$x d x = 9 d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int x d x = \int 9 d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

ステップ 2.3

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (9 t + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.2

$9$ に $2$ をかけます。

$x^{2} = 18 t + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

ステップ 3.4

$2$ を $18 t + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $18 t$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

ステップ 3.4.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2 (9 t) + 2 K$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

ステップ 4

$x$ が初期条件 $(0, 9)$ で正なので、 $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ だけを考え、 $K$ を求めます。 $0$ を $t$ に、 $9$ を $x$ に代入します。

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

ステップ 5

$K$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ として書き換えます。

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

ステップ 5.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

ステップ 5.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ を ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

ステップ 5.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$9$ に $0$ をかけます。

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

ステップ 5.3.2.1.3

$0$ と $K$ をたし算します。

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

ステップ 5.3.2.1.4

簡約します。

$2 K = 9^{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$9$ を $2$ 乗します。

$2 K = 81$

ステップ 5.4

$2 K = 81$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 K = 81$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

$K$ を $1$ で割ります。

$K = \frac{81}{2}$

ステップ 6

$\frac{81}{2}$ を $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{81}{2}$ を $K$ に代入します。

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

ステップ 6.2

$9$ を $9 t + \frac{81}{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$9$ を $9 t$ で因数分解します。

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

ステップ 6.2.2

$9$ を $\frac{81}{2}$ で因数分解します。

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

ステップ 6.2.3

$9$ を $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ で因数分解します。

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

ステップ 6.3

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

ステップ 6.4

$t$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

ステップ 6.5

$t$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

ステップ 6.7

$2$ を $t$ の左に移動させます。

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

ステップ 6.8

$18$ と $\frac{2 t + 9}{2}$ をまとめます。

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

ステップ 6.9

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.9.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ を約分します。

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ステップ 6.9.1.1

$2$ を $18 (2 t + 9)$ で因数分解します。

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

ステップ 6.9.1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

ステップ 6.9.1.3

共通因数を約分します。

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

ステップ 6.9.1.4

式を書き換えます。

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

ステップ 6.9.2

$9 (2 t + 9)$ を $1$ で割ります。

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

ステップ 6.10

$9 (2 t + 9)$ を $3^{2} (2 t + 3^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 6.10.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

ステップ 6.10.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

ステップ 6.11

累乗根の下から項を取り出します。

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

ステップ 6.12

$3$ を $2$ 乗します。

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$

微分積分 例

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