微分積分例

$\frac{d s}{d t} = - 7 t + \cos (t)$ , $s (0) = - 5$

ステップ 1

方程式を書き換えます。

$d s = (- 7 t + \cos (t)) d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int d s = \int - 7 t + \cos (t) d t$

ステップ 2.2

定数の法則を当てはめます。

$s + C_{1} = \int - 7 t + \cos (t) d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

単一積分を複数積分に分割します。

$s + C_{1} = \int - 7 t d t + \int \cos (t) d t$

ステップ 2.3.2

$- 7$ は $t$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$s + C_{1} = - 7 \int t d t + \int \cos (t) d t$

ステップ 2.3.3

べき乗則では、 $t$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{2} t^{2}$ です。

$s + C_{1} = - 7 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

ステップ 2.3.4

$\cos (t)$ の $t$ に関する積分は $\sin (t)$ です。

$s + C_{1} = - 7 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5

簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ と $t^{2}$ をまとめます。

$s + C_{1} = - 7 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

ステップ 2.3.5.2

簡約します。

$s + C_{1} = \frac{- 7 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$s + C_{1} = - \frac{7 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

ステップ 2.3.6

項を並べ替えます。

$s + C_{1} = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

ステップ 3

初期条件を利用し、 $s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ の $0$ を $t$ に、 $- 5$ を $s$ に代入し $K$ の値を求めます。

$- 5 = - \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

ステップ 4

$K$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 5$ として書き換えます。

$- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = - 5$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{7}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{7}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = - 5$

ステップ 4.2.1.1.2

$- \frac{7}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{7}{2}) + \sin (0) + K = - 5$

ステップ 4.2.1.1.2.2

$0$ に $\frac{7}{2}$ をかけます。

$0 + \sin (0) + K = - 5$

ステップ 4.2.1.1.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 + 0 + K = - 5$

ステップ 4.2.1.2

$0 + 0 + K$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + K = - 5$

ステップ 4.2.1.2.2

$0$ と $K$ をたし算します。

$K = - 5$

ステップ 5

$- 5$ を $s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ の中の $K$ に代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 5$ を $K$ に代入します。

$s = - \frac{7}{2} t^{2} + \sin (t) - 5$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$t^{2}$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$s = - \frac{t^{2} \cdot 7}{2} + \sin (t) - 5$

ステップ 5.2.2

$7$ を $t^{2}$ の左に移動させます。

$s = - \frac{7 t^{2}}{2} + \sin (t) - 5$

微分積分 例

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