微分積分例

$(2 y - 3 x) d x + x d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 2 y - 3 x$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 3 x]$

ステップ 1.2

総和則では、 $2 y - 3 x$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.4.1

$- 3 x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3 x$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

ステップ 1.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

ステップ 2

$N (x, y) = x$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

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ステップ 3.1

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$2 = 1$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$2 = 1$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

ステップ 4.2

$1$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{2 - 1}{N}$

ステップ 4.3

$x$ を $N$ に代入します。

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ステップ 4.3.1

$x$ を $N$ に代入します。

$\frac{2 - 1}{x}$

ステップ 4.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{x}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

ステップ 5

積分 $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

ステップ 5.2

答えを簡約します。

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ステップ 5.2.1

簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

ステップ 5.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = | x | + C$

ステップ 6

$(2 y - 3 x) d x + x d y = 0$ の両辺に積分因子 $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$2 y - 3 x$ に $x$ をかけます。

$(2 y - 3 x) x d x + x d y = 0$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$(2 y x - 3 x \cdot x) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$x$ を移動させます。

$(2 y x - 3 (x \cdot x)) d x + x d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y x - 3 x^{2}) d x + x d y = 0$

ステップ 6.4

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y x - 3 x^{2}) d x + x \cdot x d y = 0$

ステップ 6.5

$x$ に $x$ をかけます。

$(2 y x - 3 x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $N (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

ステップ 8

$N (x, y) = x^{2}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

定数の法則を当てはめます。

$f (x, y) = x^{2} y + C$

ステップ 9

$g (x)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (x)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ を求めます。

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ステップ 11.1

$x$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11.2

総和則では、 $x^{2} y + g (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{2} y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11.3.3

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11.4

$g (x)$ の微分係数は $\frac{d g}{d x}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 11.5

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 3 x^{2}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d x}$ について解きます。

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ステップ 12.1

$\frac{d g}{d x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 3 x^{2} - 2 x y$

ステップ 12.1.2

$2 y x - 3 x^{2} - 2 x y$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 12.1.2.1

$2 y x$ と $- 2 x y$ について因数を並べ替えます。

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 3 x^{2} - 2 x y$

ステップ 12.1.2.2

$2 x y$ から $2 x y$ を引きます。

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{2} + 0$

ステップ 12.1.2.3

$- 3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{2}$

ステップ 13

$- 3 x^{2}$ の不定積分を求めて $g (x)$ を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{2}$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ の値を求めます。

$g (x) = \int - 3 x^{2} d x$

ステップ 13.3

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$g (x) = - 3 \int x^{2} d x$

ステップ 13.4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$g (x) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

ステップ 13.5

答えを簡約します。

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ステップ 13.5.1

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ を $- 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ に書き換えます。

$g (x) = - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

ステップ 13.5.2

簡約します。

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ステップ 13.5.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$g (x) = \frac{- 3}{3} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.5.2.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$g (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$g (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{3} + C$

ステップ 13.5.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$g (x) = - x^{3} + C$

ステップ 14

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ の $g (x)$ に代入します。

$f (x, y) = x^{2} y - x^{3} + C$

微分積分 例

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