微分積分例

$3 x d y - 4 y d x = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $4 y d x$ を足します。

$3 x d y = 4 y d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{x y}$ を掛けます。

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

ステップ 3.2

$3$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

ステップ 3.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$x$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

ステップ 3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

ステップ 3.5

$4$ と $\frac{1}{x y}$ をまとめます。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

ステップ 3.6

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$y$ を $x y$ で因数分解します。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

ステップ 3.6.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 4.2

左辺を積分します。

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ステップ 4.2.1

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 4.2.3

簡約します。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

ステップ 4.3.3

簡約します。

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $C$ としてまとめます。

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1.1

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (| y |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

ステップ 5.2.1.1.2

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (| x |)$ を簡約します。

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

ステップ 5.2.1.1.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| x |}^{4}$ の絶対値を削除します。

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

ステップ 5.2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

ステップ 5.3

$y$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

ステップ 5.4

対数の定義を利用して $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

ステップ 5.5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ として書き換えます。

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

ステップ 5.5.2

両辺に $x^{4}$ を掛けます。

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

ステップ 5.5.3

簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1.1

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

ステップ 5.5.3.1.1.2

式を書き換えます。

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

ステップ 5.5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.2.1

$e^{C} x^{4}$ の因数を並べ替えます。

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

ステップ 5.5.4

$y$ について解きます。

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ステップ 5.5.4.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

ステップ 5.5.4.2

$\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ を簡約します。

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ステップ 5.5.4.2.1

$x^{4} e^{C}$ を $x^{3} (x e^{C})$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.4.2.1.1

$x^{3}$ を因数分解します。

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

ステップ 5.5.4.2.1.2

括弧を付けます。

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

ステップ 5.5.4.2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

ステップ 5.5.4.3

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$

微分積分 例

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