微分積分例

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

ステップ 1

変数を分けます。

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ステップ 1.1

両辺に $y$ を掛けます。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

ステップ 1.2

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$y$ を $9 y$ で因数分解します。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

ステップ 1.2.3

式を書き換えます。

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

ステップ 1.3

方程式を書き換えます。

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

ステップ 2

両辺を積分します。

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ステップ 2.1

各辺の積分を設定します。

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

ステップ 2.2

べき乗則では、 $y$ の $y$ に関する積分は $\frac{1}{2} y^{2}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

ステップ 2.3

右辺を積分します。

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ステップ 2.3.1

$\frac{8}{9}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{8}{9}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

ステップ 2.3.2

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

ステップ 2.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ を $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2

簡約します。

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ステップ 2.3.3.2.1

$\frac{8}{9}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

ステップ 2.3.3.2.2

$9$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

ステップ 2.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\frac{8}{27}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

ステップ 3.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3

$2 \frac{8 t^{3}}{27}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$2$ と $\frac{8 t^{3}}{27}$ をまとめます。

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$8$ に $2$ をかけます。

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

ステップ 3.4

$\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.1

$2$ を $\frac{16 t^{3}}{27}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ を $2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

ステップ 3.4.1.3

$2$ を $2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

ステップ 3.4.2

$K$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{27}{27}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

ステップ 3.4.3

項を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$K$ と $\frac{27}{27}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

ステップ 3.4.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

ステップ 3.4.4

$27$ を $K$ の左に移動させます。

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

ステップ 3.4.5

$2$ と $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

ステップ 3.4.6

$\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.6.1

$2 (8 t^{3} + 27 K)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

ステップ 3.4.6.2

$27$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.6.3

分数 $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

ステップ 3.4.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

ステップ 3.4.8

$\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ を $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.9

まとめる。

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.10

$\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ に $1$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.11

$\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 3.4.12

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.12.1

$\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 3.4.12.2

$\sqrt{3}$ を移動させます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

ステップ 3.4.12.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

ステップ 3.4.12.4

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

ステップ 3.4.12.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.12.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.4.12.7

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.12.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.12.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.12.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.12.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.12.7.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.12.7.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

ステップ 3.4.12.7.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.4.13

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.13.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.4.13.2

$3$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.4.14

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

ステップ 3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

ステップ 3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

ステップ 3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

ステップ 4

積分定数を簡約します。

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

微分積分 例

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