微分積分例

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 1

$M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ の時の $\frac{\partial M}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$y$ に関して $M$ を微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3 x^{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $3 x^{2} y^{4}$ の微分係数は $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

ステップ 1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2 x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 x y$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

ステップ 1.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

ステップ 2

$N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ の時の $\frac{\partial N}{\partial x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ に関して $N$ を微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3} y^{3}$ の微分係数は $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

ステップ 3

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ を確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$12 y^{3} x^{2} + 2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に、 $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

ステップ 3.2

方程式の左辺が右辺に等しくないので、方程式は恒等式ではありません。

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ は恒等式ではありません。

ステップ 4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6 y^{3} x^{2} - 2 x$ を $\frac{\partial N}{\partial x}$ に代入します。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

ステップ 4.2

$12 y^{3} x^{2} + 2 x$ を $\frac{\partial M}{\partial y}$ に代入します。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

ステップ 4.3

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ を $M$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ を $M$ に代入します。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.2

$12$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.4

$6 y^{3} x^{2}$ から $12 y^{3} x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.5

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.6

$2 x$ を $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

$2 x$ を $- 6 y^{3} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.6.2

$2 x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.2.6.3

$2 x$ を $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

ステップ 4.3.3

$x y$ を $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$x y$ を $3 x^{2} y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

ステップ 4.3.3.2

$x y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

ステップ 4.3.3.3

$x y$ を $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.5

$- 3 y^{3} x - 2$ と $3 x y^{3} + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.5.1

$- 1$ を $- 3 y^{3} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.5.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.5.3

$- 1$ を $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.5.4

$- (3 y^{3} x + 2)$ を $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

ステップ 4.3.5.5

項を並べ替えます。

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

ステップ 4.3.5.6

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

ステップ 4.3.5.7

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

ステップ 4.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{y}$

ステップ 4.3.7

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ を $M$ に代入します。

$- \frac{2}{y}$

ステップ 4.4

積分因子 $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ を求めます。

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5

積分 $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

ステップ 5.2

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

ステップ 5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

ステップ 5.4

$\frac{1}{y}$ の $y$ に関する積分は $\ln (| y |)$ です。

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

ステップ 5.5

簡約します。

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.6.1

対数の中の $- 2$ を移動させて $- 2 \ln (| y |)$ を簡約します。

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

ステップ 5.6.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

ステップ 5.6.3

偶数乗をもつ累乗法は常に正なので、 ${| y |}^{- 2}$ の絶対値を削除します。

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

ステップ 5.6.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

ステップ 6

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ の両辺に積分因子 $\frac{1}{y^{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.2

$3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3

$x y$ を $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1

$x y$ を $3 x^{2} y^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3.2

$x y$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.3.3

$x y$ を $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ で因数分解します。

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4

$y$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$y$ を $x y (3 x y^{3} + 2)$ で因数分解します。

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

ステップ 6.5

$2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.6

$2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ に $\frac{1}{y^{2}}$ をかけます。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7

$x^{2}$ を $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.7.1

$x^{2}$ を $2 x^{3} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 6.7.3

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

ステップ 7

$f (x, y)$ は $M (x, y)$ の積分と等しいとします。

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

ステップ 8

$M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ を積分して $f (x, y)$ を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{y}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{y}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

ステップ 8.2

$x (3 x y^{3} + 2)$ を展開します。

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ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

ステップ 8.2.2

括弧を移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

ステップ 8.2.3

括弧を削除します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

ステップ 8.2.4

$x$ と $3$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

ステップ 8.2.5

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

ステップ 8.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

ステップ 8.2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

ステップ 8.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

ステップ 8.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

ステップ 8.3

単一積分を複数積分に分割します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

ステップ 8.4

$3 y^{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $3 y^{3}$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

ステップ 8.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

ステップ 8.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

ステップ 8.7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

ステップ 8.8

簡約します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

ステップ 9

$g (y)$ の積分は積分定数を含むので、 $C$ を $g (y)$ で置き換えることができます。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

ステップ 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ を設定します。

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$y$ に関して $f$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.2

総和則では、 $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ の値を求めます。

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ステップ 11.3.1

$f (y) = \frac{1}{y}$ および $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.2

総和則では、 $y^{3} x^{3} + x^{2}$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.3

$x^{3}$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $y^{3} x^{3}$ の微分係数は $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ です。

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.5

$x^{2}$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $x^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.6

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.8

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.9

$3 x^{3} y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.10

$3$ と $\frac{1}{y}$ をまとめます。

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.11

$x^{3}$ と $\frac{3}{y}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.12

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.13

$3$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.14

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.14.1

$y$ を $3 x^{3} y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.14.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.14.2.2

$y$ を $y^{1}$ で因数分解します。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.14.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.14.2.4

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.3.14.2.5

$3 x^{3} y$ を $1$ で割ります。

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.4

$g (y)$ の微分係数は $\frac{d g}{d y}$ であるという関数の規則を使って微分します。

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.2

分配則を当てはめます。

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.1

$y^{3}$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.2

$x^{3}$ と $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ をまとめます。

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.3

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.3.1

$y^{2}$ を $x^{3} y^{3}$ で因数分解します。

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.3.3.2.1

$1$ を掛けます。

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.3.2.4

$x^{3} y$ を $1$ で割ります。

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.4

$x^{2}$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.3.5

$3 x^{3} y$ から $x^{3} y$ を引きます。

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 11.5.4

項を並べ替えます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

ステップ 12

$\frac{d g}{d y}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

方程式の両辺から $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.3

$- x^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.3.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.3.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.4

$- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.4.2

$- 2 x^{3} y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.5

$y^{3}$ と $y^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.1

$y^{2}$ を $- 2 x^{3} y^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

ステップ 12.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.5.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

ステップ 12.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

ステップ 12.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

ステップ 12.1.5.2.4

$- 2 x^{3} y$ を $1$ で割ります。

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

ステップ 12.1.6

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.6.1

$2 x^{3} y$ から $2 x^{3} y$ を引きます。

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

ステップ 12.1.6.2

$\frac{d g}{d y}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d g}{d y} = 0$

ステップ 13

$0$ の不定積分を求めて $g (y)$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$\frac{d g}{d y} = 0$ の両辺を積分します。

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

ステップ 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ の値を求めます。

$g (y) = \int 0 d y$

ステップ 13.3

$0$ の $y$ に関する積分は $0$ です。

$g (y) = 0 + C$

ステップ 13.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$g (y) = C$

ステップ 14

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ の $g (y)$ に代入します。

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

ステップ 15

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\frac{1}{y}$ に $y^{3} x^{3} + x^{2}$ をかけます。

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

ステップ 15.2

$x^{2}$ を $y^{3} x^{3} + x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$x^{2}$ を $y^{3} x^{3}$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

ステップ 15.2.2

$1$ を掛けます。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

ステップ 15.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ で因数分解します。

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$

微分積分 例

微分積分例