微分積分例

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $x d x$ を引きます。

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

ステップ 2

両辺に $\frac{1}{\sec (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$\sec (x)$ を $\sec (x) \sin (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

ステップ 3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

ステップ 3.3

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

ステップ 3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

ステップ 3.5

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

ステップ 3.6

$- \cos (x) x$ の因数を並べ替えます。

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

ステップ 4

両辺を積分します。

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ステップ 4.1

各辺の積分を設定します。

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

ステップ 4.2

$\sin (y)$ の $y$ に関する積分は $- \cos (y)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

ステップ 4.3

右辺を積分します。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

ステップ 4.3.2

$u = x$ と $d v = \cos (x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

ステップ 4.3.3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

ステップ 4.3.4

$- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ を $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ に書き換えます。

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

ステップ 4.4

右辺の積分定数を $K$ としてまとめます。

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

ステップ 5

$y$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ として書き換えます。

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

ステップ 5.3

$\cos (x)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $x \sin (x)$ を足します。

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

ステップ 5.3.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

ステップ 5.4

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.3.1.2

$\cos (y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.3.1.3

$\frac{x \sin (x)}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.3.1.4

$- 1 \cdot (x \sin (x))$ を $- (x \sin (x))$ に書き換えます。

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

ステップ 5.4.3.1.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

ステップ 5.4.3.1.6

$K$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

ステップ 5.5

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

ステップ 5.6

方程式を $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ として書き換えます。

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

ステップ 5.7

方程式の両辺の逆余弦をとり、逆余弦の中から $\cos (y)$ を取り出します。

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

ステップ 5.8

$\cos (y)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.8.1

方程式の両辺に $x \sin (x)$ を足します。

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

ステップ 5.8.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

ステップ 5.9

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

ステップ 5.10

$y$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

ステップ 5.11

方程式の両辺の逆余弦をとり、逆余弦の中から $\cos (y)$ を取り出します。

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

ステップ 5.12

$\cos (y)$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.12.1

方程式の両辺に $x \sin (x)$ を足します。

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

ステップ 5.12.2

方程式の両辺から $K$ を引きます。

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

ステップ 5.13

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

ステップ 6

積分定数を簡約します。

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$

微分積分 例

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